2つの独立な式になったので、これを解くことができる。
\[
x_1+x_2=A_1 \cos \left(\sqrt{3k/m}t+x_0\right)\\
x_1-x_2=A_2 \cos \left(\sqrt{k/m}t+x'_0\right)
\]
今はおもりを振動させることを考えているので、初速度0の初期条件をおくと、$x_0=x'_0=0$とできて簡単になる。

ここまで来れば$x_1,x_2$の一般解は明らかで、2式を足したり引いたりすれば
\[
x_1=A'_1\cos\left(\sqrt{3k/m}t\right) + A'_2 \cos \left(\sqrt{k/m}t\right) \\
x_2=A'_1\cos\left(\sqrt{3k/m}t\right) - A'_2 \cos \left(\sqrt{k/m}t\right)
\]
ただし$2A'_i =A_i$である。これより先は、式を簡単にするため$k/m=1$となる単位系で考えよう。すると上の式は
\[
x_1=A'_1\cos\left(\sqrt{3}t\right) + A'_2 \cos \left(t\right) \\
x_2=A'_1\cos\left(\sqrt{3}t\right) - A'_2 \cos \left(t\right)
\]
となる。

初期条件を決めてみよう。まずは$(x_1,x_2)=(1,0.5)$としてみる。これはおもり2に触れないまま、おもり1を1だけ右にずらしたことに相当する。おもり2は壁とおもり1の中間点にいようとするので、0.5だけずれるのである。すると$(A_1',A_2')=(0.75,-0.25)$が相当する解となり、プロットしてみると$L=3$として

となる。ここで$x_2$は$x_2+L$としてプロットした（青色）。対角化した基底ではコサインカーブであったものが、元の座標に戻すとこのように非周期的ともいえる振る舞いをするのである。

このことは、$x_1x_2$平面上でこの運動をプロットすることでよりよく理解できる。$t=[0,4\pi]$で横軸$x_1$、縦軸$x_2$でプロットしたのが下の図である。

これを見れば、斜め45度方向にそれぞれ振動しているものを$x_1,x_2$方向に射影したためよくわからない運動になっている様子がよくわかる。つまり対角化は、このグラフ上で45度だけ視点を回転させることに対応していたのである。

おもり1とおもり2を同じ方向に同じだけ動かして振動させたり、違う方向に同じだけ動かして振動させたりすると周期的な動きを続けることが想像できるが、それは実際この斜め45度の軸方向に動かすことに対応しているので、射影しても周期的な運動を続けてくれる。



以上の議論は、$k/m$を左右で変えて左右の対称性をやぶってみたり（斜め45度ではなくなる）、あるいはおもりを増やしたり（3次元ではなんとかグラフに描ける）してみても基本的には同様にできる。